Thực đơn
Giá trị riêng và vectơ riêng
Giá trị riêng và vectơ riêng thường được giới thiệu đến sinh viên khi học về các khóa đại số tuyến tính tập trung vào các ma trận.[23][24] Hơn nữa, các biến đổi tuyến tính trên một không gian vectơ hữu hạn chiều có thể được biểu diễn nhờ sử dụng các ma trận,[25][4] điều này đặc biệt phổ biến trong các ứng dụng tính toán số.[26]
Để bắt đầu, ta xét các vectơ n chiều gồm bộ n phần tử có thứ tự, ví dụ các vectơ ba chiều sau
x = [ 1 − 3 4 ] and y = [ − 20 60 − 80 ] . {\displaystyle x={\begin{bmatrix}1\\-3\\4\end{bmatrix}}\quad {\mbox{and}}\quad y={\begin{bmatrix}-20\\60\\-80\end{bmatrix}}.}Các vectơ này được gọi là các bội vô hướng của nhau, hay song song hoặc cùng phương, nếu tồn tại một vô hướng λ sao cho
x = λ y . {\displaystyle x=\lambda y.}Trong trường hợp này λ = − 1 / 20 {\displaystyle \lambda =-1/20} .
Bây giờ xét biến đổi tuyến tính trên các vectơ n chiều được xác định bởi một ma trận A cỡ n × n,
A v = w , {\displaystyle Av=w,}hay
[ A 11 A 12 … A 1 n A 21 A 22 … A 2 n ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ A n 1 A n 2 … A n n ] [ v 1 v 2 ⋮ v n ] = [ w 1 w 2 ⋮ w n ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}A_{11}&A_{12}&\ldots &A_{1n}\\A_{21}&A_{22}&\ldots &A_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\A_{n1}&A_{n2}&\ldots &A_{nn}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}v_{1}\\v_{2}\\\vdots \\v_{n}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}w_{1}\\w_{2}\\\vdots \\w_{n}\end{bmatrix}}}trong đó đối với mỗi hàng ta có,
w i = A i 1 v 1 + A i 2 v 2 + ⋯ + A i n v n = ∑ j = 1 n A i j v j {\displaystyle w_{i}=A_{i1}v_{1}+A_{i2}v_{2}+\cdots +A_{in}v_{n}=\sum _{j=1}^{n}A_{ij}v_{j}} .Nếu v và w là các bội vô hướng của nhau, tức là nếu
A v = w = λ v , {\displaystyle Av=w=\lambda v,} |
| (1) |
thì v là một vectơ riêng của biến đổi tuyến tính A và hệ số nhân λ là giá trị riêng tương ứng với vectơ riêng đó. Phương trình (1) là phương trình giá trị riêng cho ma trận A.Phương trình (1) có thể được nêu một cách tương đương dưới dạng
( A − λ I ) v = 0 , {\displaystyle (A-\lambda I)v=0,} |
| (2) |
trong đó I là ma trận đơn vị n × n và 0 là vectơ không.
Phương trình (2) có nghiệm vectơ v khác 0 (gọi là nghiệm không tầm thường) khi và chỉ khi định thức của ma trận (A − λI) bằng 0. Vì vậy các giá trị riêng của A là các giá trị λ thỏa mãn phương trình
| A − λ I | = 0 {\displaystyle |A-\lambda I|=0} |
| (3) |
Sử dụng quy tắc Leibniz cho định thức, vế trái của Phương trình (3) là một hàm số đa thức với biến λ và bậc của đa thức này là n, bằng cấp của ma trận A. Các hệ số của đa thức này phụ thuộc vào các phần tử của ma trận A, ngoại trừ hệ số của bậc n luôn là (−1)nλn. Đa thức này được gọi là đa thức đặc trưng của A. Còn Phương trình (3) được gọi là phương trình đặc trưng của A.Từ định lý cơ bản của đại số ta suy ra rằng đa thức đặc trưng của một ma trận vuông A cấp n là một đa thức có bậc n, và có thể được phân tích thành tích của n nhân tử tuyến tính,
| A − λ I | = ( λ 1 − λ ) ( λ 2 − λ ) ⋯ ( λ n − λ ) , {\displaystyle |A-\lambda I|=(\lambda _{1}-\lambda )(\lambda _{2}-\lambda )\cdots (\lambda _{n}-\lambda ),} |
| (4) |
trong đó mỗi λi có thể là số thực hoặc phức. Các số λ1, λ2, ... λn có thể không phân biệt, và là các nghiệm của đa thức và là giá trị riêng của A.
Lấy một ví dụ ngắn (sẽ được mô tả chi tiết ở mục ví dụ bên dưới), xét ma trận
A = [ 2 1 1 2 ] . {\displaystyle A={\begin{bmatrix}2&1\\1&2\end{bmatrix}}.}Lấy định thức của ma trận (A − λI), ta có đa thức đặc trưng của A là
| A − λ I | = | 2 − λ 1 1 2 − λ | = 3 − 4 λ + λ 2 . {\displaystyle |A-\lambda I|={\begin{vmatrix}2-\lambda &1\\1&2-\lambda \end{vmatrix}}=3-4\lambda +\lambda ^{2}.}Cho đa thức đặc trưng bằng 0 để có phương trình, nó có hai nghiệm tại λ=1 và λ=3, là hai giá trị riêng của A. Các vectơ riêng tương ứng với các giá trị riêng có thể tìm được bằng cách giải ra các thành phần của v trong phương trình ( A − λ I ) v = 0 {\displaystyle (A-\lambda I)v=0} bằng cách chuyển về hệ phương trình tuyến tính thuần nhất. Trong ví dụ này, mọi vectơ riêng là bội vô hướng khác 0 bất kỳ của hai vectơ riêng
v λ = 1 = [ 1 − 1 ] , v λ = 3 = [ 1 1 ] . {\displaystyle v_{\lambda =1}={\begin{bmatrix}1\\-1\end{bmatrix}},\quad v_{\lambda =3}={\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}}.}Nếu các phần tử của ma trận A đều là các số thực thì các hệ số của đa thức đặc trưng cũng là các số thực, nhưng các giá trị riêng có thể vẫn có phần ảo khác 0. Các tọa độ của các vectơ riêng tương ứng cũng có thể có phần ảo khác 0. Tương tự, các giá trị riêng có thể là các số vô tỉ ngay cả khi các phần tử của A đều là các số hữu tỉ, hay thậm chí nếu tất cả chúng đều là số nguyên. Tuy nhiên nếu các phần tử của ma trận A đều là các số đại số (bao gồm cả các số hữu tỉ), các giá trị riêng sẽ là các số phức đại số.
Các nghiệm phức của một đa thức thực với các hệ số thực có thể được nhóm thành cặp các liên hợp phức, tức là hai số của mỗi cặp chỉ có dấu khác nhau ở phần ảo còn phần thực thì giống nhau. Nếu bậc đa thức là lẻ thì theo định lý giá trị trung gian, ít nhất một nghiệm là thực. Vì thế, một ma trận thực vuông với số cấp lẻ có ít nhất một giá trị riêng thực, trong khi một ma trận thực vuông với số kích thước chẵn có thể không có bất kỳ một giá trị riêng thực nào. Các vectơ riêng tương ứng với các giá trị riêng phức này cũng là phức và cũng theo từng cặp liên hợp phức.
Việc tính toán bằng số định thức và đa thức đặc trưng trong thực tế là một vấn đề hoàn toàn khác với các lý thuyết nói ở trên. Tính toán ngày càng khó khăn với các ma trận có kích thước càng lớn, chưa kể các lỗi làm tròn không thể tránh khỏi. Kể từ ma trận cỡ bằng 5 trở lên, đa thức đặc trưng là bậc 5 hoặc cao hơn và do đó theo định lý Abel–Ruffini, không có công thức đại số tường minh cho các nghiệm giá trị riêng cho các ma trận này. Vì thế, người ta đưa ra các phương pháp tính xấp xỉ số để tính toán giá trị riêng và vectơ riêng. Thuật toán tính giá trị riêng bằng số sớm nhất là phép lặp lũy thừa, sau đó các thuật toán chính xác và hiệu quả hơn đã ra đời, chẳng hạn thuật toán QR vào năm 1961.[27] Đối với các ma trận Hermite thưa, thuật toán Lanczos là một ví dụ về một phương pháp lặp hiệu quả để tính giá trị riêng và vectơ riêng, và còn được sử dụng trong nhiều mục đích có thể khác.[27]
Cho λi là một giá trị riêng của ma trận A cỡ n × n. Số bội đại số μA(λi) của một giá trị riêng λi là số bội của nghiệm λi của đa thức đặc trưng, tức là số nguyên dương lớn nhất k sao cho đa thức đó chia hết cho (λ − λi)k.[10][28][29]
Giả sử ma trận vuông A có kích thước n và có d ≤ n các giá trị riêng phân biệt. Ở Phương trình (4) đa thức đặc trưng của A được phân tích thành tích của n thừa số tuyến tính với một vài thừa số có thể lặp lại, nhưng thay vào đó ta có thể viết đa thức đặc trưng thành tích của d thừa số, mỗi thừa số chỉ tương ứng với một giá trị riêng riêng biệt và được lũy thừa lên bậc bằng số lần lặp, chính là số bội đại số.
| A − λ I | = ( λ 1 − λ ) μ A ( λ 1 ) ( λ 2 − λ ) μ A ( λ 2 ) ⋯ ( λ d − λ ) μ A ( λ d ) . {\displaystyle |A-\lambda I|=(\lambda _{1}-\lambda )^{\mu _{A}(\lambda _{1})}(\lambda _{2}-\lambda )^{\mu _{A}(\lambda _{2})}\cdots (\lambda _{d}-\lambda )^{\mu _{A}(\lambda _{d})}.}Nếu d = n thì ở vế phải là tích của n thừa số tuyến tính tương tự Phương trình (4). Số bội đại số của mỗi giá trị riêng liên hệ với kích thước của ma trận n như sau.
1 ≤ μ A ( λ i ) ≤ n , μ A = ∑ i = 1 d μ A ( λ i ) = n . {\displaystyle {\begin{aligned}1&\leq \mu _{A}(\lambda _{i})\leq n,\\\mu _{A}&=\sum _{i=1}^{d}\mu _{A}\left(\lambda _{i}\right)=n.\end{aligned}}}Nếu μA(λi) = 1, thì λi được gọi là giá trị riêng đơn.[29] Nếu μA(λi) bằng số bội hình học của λi , γA(λi), được định nghĩa ở mục sau, thì λi được gọi là giá trị riêng nửa đơn.
Cho một giá trị riêng cụ thể λ của một ma trận A cỡ n × n. Định nghĩa E là tập hợp tất cả vectơ v thỏa mãn Phương trình (2),
E = { v : ( A − λ I ) v = 0 } . {\displaystyle E=\left\{\mathbf {v} :(A-\lambda I)\mathbf {v} =0\right\}.}Mặt khác, tập hợp này chính là hạt nhân của ma trận (A − λI). Lại có, theo định nghĩa, bất kỳ một vectơ khác vectơ không nào thỏa mãn điều kiện này là một vectơ riêng của A tương ứng với λ. Vì thế, tập hợp E là hợp của vectơ không với tập hợp tất cả vectơ riêng của A tương ứng với λ, và E bằng tập hợp hạt nhân của (A − λI). E được gọi là không gian con riêng hay không gian con đặc trưng của A tương ứng với giá trị riêng λ.[30][10] Tổng quát, λ là một số phức và các vectơ riêng là các ma trận cột n × 1 phức. Một tính chất của hạt nhân là nó cũng là một không gian con tuyến tính, nên E là một không gian con của ℂn.
Bởi không gian con riêng E là một không gian con tuyến tính, nó là đóng đối với phép cộng. Tức là, nếu hai vectơ u và v thuộc tập E, được viết là u, v ∈ E, thì vectơ tổng (u + v) ∈ E, hay tương đương là A(u + v) = λ(u + v): với cùng λ, tổng của hai vectơ riêng cũng là một vectơ riêng. Có thể kiểm tra điều này bằng cách sử dụng tính phân phối của phép nhân ma trận. Tương tự, vì E là không gian con tuyến tính nên nó đóng đối với phép nhân vô hướng. Tức là, nếu v ∈ E và α là một số phức, ta có (αv) ∈ E hay tương đương là A(αv) = λ(αv): mỗi vectơ song song với một vectơ riêng cũng là một vectơ riêng. Có thể kiểm tra điều này bằng cách chú ý rằng phép nhân vô hướng của các số phức với ma trận phức có tính giao hoán. Vậy tóm lại nếu các vectơ u + v và αv khác vectơ không thì chúng cũng là các vectơ riêng của A tương ứng với λ.
Số chiều của không gian con riêng E ứng với giá trị riêng λ, hay số vectơ riêng độc lập tuyến tính tối đa ứng với λ, được gọi là số bội hình học γA(λ) của giá trị riêng đó. Bởi E còn là hạt nhân của (A − λI), số bội hình học của λ cũng là số chiều của hạt nhân, hay còn gọi là số vô hiệu của ma trận (A − λI), được liên hệ với kích thước và hạng của (A − λI) bởi
γ A ( λ ) = n − rank ( A − λ I ) . {\displaystyle \gamma _{A}(\lambda )=n-\operatorname {rank} (A-\lambda I).}Bởi theo định nghĩa của giá trị riêng và vectơ riêng, số bội hình học của một giá trị riêng phải ít nhất bằng 1, tức là ứng với mỗi giá trị riêng có ít nhất một vectơ riêng. Hơn nữa, số bội hình học của một vectơ riêng không thể vượt quá số bội đại số của nó. Ngoài ra, nhớ lại rằng số bội đại số của một giá trị riêng không thể vượt quá n:
1 ≤ γ A ( λ ) ≤ μ A ( λ ) ≤ n {\displaystyle 1\leq \gamma _{A}(\lambda )\leq \mu _{A}(\lambda )\leq n}Để chứng minh bất đẳng thức γ A ( λ ) ≤ μ A ( λ ) {\displaystyle \gamma _{A}(\lambda )\leq \mu _{A}(\lambda )} , trước tiên thấy rằng từ định nghĩa số bội hình học suy ra được sự tồn tại của γ A ( λ ) {\displaystyle \gamma _{A}(\lambda )} các vectơ riêng trực chuẩn v 1 , … , v γ A ( λ ) {\displaystyle {\boldsymbol {v}}_{1},\,\ldots ,\,{\boldsymbol {v}}_{\gamma _{A}(\lambda )}} sao cho A v k = λ v k {\displaystyle A{\boldsymbol {v}}_{k}=\lambda {\boldsymbol {v}}_{k}} . Vì thế ta có thể tìm được một ma trận (unita) V {\displaystyle V} với γ A ( λ ) {\displaystyle \gamma _{A}(\lambda )} cột đầu tiên là các vectơ riêng này, và các cột còn lại là một tập hợp trực chuẩn gồm n − γ A ( λ ) {\displaystyle n-\gamma _{A}(\lambda )} vectơ và chúng trực giao với các vectơ riêng của A {\displaystyle A} . Vì vậy V {\displaystyle V} có hạng đầy đủ tức là nó khả nghịch, và A V = V D {\displaystyle AV=VD} với D {\displaystyle D} là ma trận mà khối ở phía trên bên trái là ma trận đường chéo λ I γ A ( λ ) {\displaystyle \lambda I_{\gamma _{A}(\lambda )}} . Từ đẳng thức này ta có ( A − ξ I ) V = V ( D − ξ I ) {\displaystyle (A-\xi I)V=V(D-\xi I)} . Nói cách khác, A − ξ I {\displaystyle A-\xi I} đồng dạng với D − ξ I {\displaystyle D-\xi I} , suy ra rằng det ( A − ξ I ) = det ( D − ξ I ) {\displaystyle \det(A-\xi I)=\det(D-\xi I)} . Nhưng từ định nghĩa của D {\displaystyle D} ta biết rằng det ( D − ξ I ) {\displaystyle \det(D-\xi I)} có một nhân tử ( ξ − λ ) γ A ( λ ) {\displaystyle (\xi -\lambda )^{\gamma _{A}(\lambda )}} ,có nghĩa là số bội đại số của λ {\displaystyle \lambda } phải thỏa mãn μ A ( λ ) ≥ γ A ( λ ) {\displaystyle \mu _{A}(\lambda )\geq \gamma _{A}(\lambda )} .
Giả sử A {\displaystyle A} có d ≤ n {\displaystyle d\leq n} các giá trị riêng phân biệt λ 1 , . . . , λ d {\displaystyle \lambda _{1},...,\lambda _{d}} , trong đó số bội hình học của λ i {\displaystyle \lambda _{i}} là γ A ( λ i ) {\displaystyle \gamma _{A}(\lambda _{i})} . Ta có số bội hình học tổng cộng của A {\displaystyle A} ,
γ A = ∑ i = 1 d γ A ( λ i ) , d ≤ γ A ≤ n , {\displaystyle {\begin{aligned}\gamma _{A}&=\sum _{i=1}^{d}\gamma _{A}(\lambda _{i}),\\d&\leq \gamma _{A}\leq n,\end{aligned}}}là số chiều của tổng của các không gian riêng của tất cả các giá trị riêng của A {\displaystyle A} , hay tương đương là số vectơ riêng độc lập tuyến tính tối đa của A {\displaystyle A} . Nếu γ A = n {\displaystyle \gamma _{A}=n} thì
Cho A {\displaystyle A} là ma trận vuông số phức n × n {\displaystyle n\times n} với các trị riêng λ 1 , . . . , λ n {\displaystyle \lambda _{1},...,\lambda _{n}} . Mỗi trị riêng dưới đây có thể lặp lại tới μ A ( λ i ) {\displaystyle \mu _{A}(\lambda _{i})} lần, trong đó μ A ( λ i ) {\displaystyle \mu _{A}(\lambda _{i})} là số bội đại số. Sau đây là các tính chất của ma trận và các giá trị riêng của nó:
Nhận xét: từ kết quả trên, ta nhận thấy có một cách để tính nhanh định thức | A − a I | {\displaystyle |A-aI|} . Đó là ta tìm đa thức đặc trưng P ( λ ) = | A − λ I | {\displaystyle P({\lambda })=|A-{\lambda }I|} của ma trận A {\displaystyle A} . Sau đó, tính giá trị của P ( a ) {\displaystyle P(a)}
Trong trường hợp ma trận Hermite, các giá trị riêng có thể được cho với một đặc trưng biến thiên. Giá trị riêng lớn nhất của ma trận Hermite H {\displaystyle H} là giá trị lớn nhất của dạng toàn phương x T H x / x T x {\displaystyle x^{\textsf {T}}Hx/x^{\textsf {T}}x} . Một vectơ x {\displaystyle x} sao cho dạng toàn phương đạt giá trị lớn nhất đó, là một vectơ riêng.
Nhiều lĩnh vực nghiên cứu biểu diễn các vectơ dưới dạng ma trận chỉ với một cột đơn hơn là ma trận với một hàng đơn. Vì lý do đó, từ "vectơ riêng" của một ma trận hầu như luôn đề cập đến vectơ riêng phải tức là một vectơ cột được nhân vào phía bên phải của một ma trận A {\displaystyle A} cỡ n × n {\displaystyle n\times n} trong phương trình định nghĩa (1),
A v = λ v . {\displaystyle Av=\lambda v.}Tuy vậy, vấn đề vectơ riêng và giá trị riêng cũng có thể được định nghĩa cho các vectơ hàng được nhân trái với ma trận A {\displaystyle A} . Theo đó phương trình định nghĩa là
u A = κ u , {\displaystyle uA=\kappa u,}trong đó κ {\displaystyle \kappa } là một vô hướng và u {\displaystyle u} là ma trận hàng 1 × n {\displaystyle 1\times n} . Một vectơ hàng u {\displaystyle u} thỏa mãn phương trình này được gọi là một vectơ riêng trái của A {\displaystyle A} và κ {\displaystyle \kappa } là giá trị riêng tương ứng. Lấy chuyển vị của phương trình này ta có
A T u T = κ u T . {\displaystyle A^{\textsf {T}}u^{\textsf {T}}=\kappa u^{\textsf {T}}.}So sánh với Phương trình (1), ta thấy ngay rằng một vectơ riêng trái của A {\displaystyle A} chính là chuyển vị của một vectơ riêng phải của A T {\displaystyle A^{\textsf {T}}} , với cùng giá trị riêng. Hơn nữa, vì đa thức đặc trưng của A T {\displaystyle A^{\textsf {T}}} cũng bằng đa thức đặc trưng của A {\displaystyle A} , giá trị riêng của các vectơ riêng trái của A {\displaystyle A} cũng bằng giá trị riêng của các vectơ riêng phải của A T {\displaystyle A^{\textsf {T}}} .
Giả sử các vectơ riêng của A tạo thành một cơ sở, hay tương đương là A có n vectơ riêng độc lập tuyến tính v1, v2, ..., vn tương ứng với các giá trị riêng λ1, λ2, ..., λn (không nhất thiết phân biệt). Định nghĩa một ma trận vuông Q có các cột là n vectơ riêng độc lập tuyến tính của A,
Q = [ v 1 v 2 ⋯ v n ] . {\displaystyle Q={\begin{bmatrix}v_{1}&v_{2}&\cdots &v_{n}\end{bmatrix}}.}Vì mỗi cột của Q là một vectơ riêng của A, nhân phải Q với A chính là nhân mỗi cột của Q với các giá trị riêng tương ứng,
A Q = [ λ 1 v 1 λ 2 v 2 ⋯ λ n v n ] . {\displaystyle AQ={\begin{bmatrix}\lambda _{1}v_{1}&\lambda _{2}v_{2}&\cdots &\lambda _{n}v_{n}\end{bmatrix}}.}Định nghĩa một ma trận chéo Λ với các phần tử đường chéo Λii là các giá trị riêng tương ứng với cột thứ i của Q. Vậy thì
A Q = Q Λ . {\displaystyle AQ=Q\Lambda .}Vì mỗi cột của Q độc lập tuyến tính nên Q khả nghịch. Nhân phải mỗi vế của phương trình với Q−1,
A = Q Λ Q − 1 , {\displaystyle A=Q\Lambda Q^{-1},}hoặc nhân trái mỗi vế với Q−1, ta có
Q − 1 A Q = Λ . {\displaystyle Q^{-1}AQ=\Lambda .}Vì vậy A có thể được phân tích thành tích của một ma trận với các cột là các vectơ riêng, một ma trận chéo với các giá trị riêng nằm trên đường chéo, và nghịch đảo của ma trận với vectơ riêng. Đây được gọi là phân tích riêng của ma trận và nó là một biến đổi đồng dạng. Một ma trận A như vậy được gọi là đồng dạng với ma trận chéo Λ hay chéo hóa được. Ma trận Q chính là ma trận chuyển cơ sở của phép biến đổi đồng dạng. Về cơ bản, hai ma trận A và Λ thể hiện cùng một biến đổi tuyến tính khi biểu diễn trong hai cơ sở khác nhau, trong đó các vectơ riêng được chọn làm cơ sở khi biểu diễn phép biến đổi dưới dạng ma trận Λ.
Bây giờ, giả sử ma trận A chéo hóa được. Cho P là một ma trận vuông không suy biến sao cho P−1AP là một ma trận đường chéo D. Nhân trái hai vế với P, ta được AP = PD. Mỗi cột của P vì thế phải là một vectơ riêng của A với giá trị riêng tương ứng là phần tử trên đường chéo của D. Vì các cột của P phải độc lập tuyến tính để P khả nghịch nên tồn tại n vectơ riêng độc lập tuyến tính của A. Vì vậy, suy ra các vectơ riêng của A tạo thành cơ sở khi và chỉ khi A là chéo hóa được.
Một ma trận không chéo hóa được thì được gọi là khiếm khuyết. Đối với các ma trận khiếm khuyết, ta có sự tổng quát hóa của các vectơ riêng trở thành các vectơ riêng tổng quát và ma trận chéo trở thành dạng chuẩn tắc Jordan. Trên một trường đại số đóng, một ma trận bất kỳ A luôn có dạng chuẩn tắc Jordan.
Đối với một ma trận Hermite, có thể tính bình phương của chuẩn của thành phần thứ j của một vectơ riêng đã chuẩn hóa, chỉ sử dụng các giá trị riêng của ma trận và các giá trị riêng của ma trận con tương ứng:
| v i , j | 2 = ∏ k ( λ i − λ k ( M j ) ) ∏ k ≠ i ( λ i − λ k ) , {\displaystyle |v_{i,j}|^{2}={\frac {\prod _{k}{(\lambda _{i}-\lambda _{k}(M_{j}))}}{\prod _{k\neq i}{(\lambda _{i}-\lambda _{k})}}},}trong đó M j {\textstyle M_{j}} là ma trận con được tạo ra bằng cách bỏ đi các hàng và cột thứ j từ ma trận ban đầu.[36][37][38]
Thực đơn
Giá trị riêng và vectơ riêngLiên quan
Tài liệu tham khảo
WikiPedia: Giá trị riêng và vectơ riêng